Фрактальная графика

Понятия фрактал и фрактальная геометрия были предложены Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Применение фракталов

• Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.
  
• Фрактальное сжатие изображений — это алгоритм сжатия изображений c потерями, основанный на применении систем итерируемых функций к изображениям. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (до 1000 раз) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе. Из-за сложной ситуации с патентованием широкого распространения алгоритм не получил.
• В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п.
• Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.
• Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии.
• В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
• Последнее время фракталы стали популярным инструментом у трейдеров для анализа состояния биржевых рынков.
• Примером применения фракталов в литературе являются «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи»).

Классификация фракталов:

• Геометрические фракталы
• Алгебраические фракталы
• Стохастические фракталы

Примеры фракталов

Алгоритм построения треугольника Серпинского:

1. В основной программе строится внешний треугольник.
2. В подпрограмме строится треугольник, получающийся при соединении середин сторон внешнего треугольника.
3. Вызов рекурсивной подпрограммы для трех полученных треугольников (центральный треугольник исключаем).

Пример 2. Красная водоросль

Алгоритм построения красной водоросли:

1. В основной программе вызываем подпрограмму, в качестве параметров передаются координаты начала отрезка (точки А), длина отрезка и угол наклона.
2. В подпрограмме строим отрезок АВ (ствол водоросли), вычисляем координаты конца отрезка (точки В).
3. Вызываем рекурсивную подпрограмму, чтобы построить три отрезка: ветвь (расположенную под тем же углом, что и ствол, но меньшей длины) и две короткие ветви, расположенные по разные стороны от данной.

Данная программа позволяет рисовать изображение в зависимости от введённого пользователем n уровней.

Фрактал состоит из сочетания линий, координаты начала и конца определяются процедурой
Line(x, y, Round(x + l * cos(u)), Round(y - l * sin(u))), l отвечает за длину ветви, u – за угол наклона.

Задания